Matemātikas mācīšana Itālijā un Vācijā piecpadsmitajā gadsimtā

Matemātikas mācīšana Itālijā un Vācijā piecpadsmitajā gadsimtā


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Ir grāmata Ārpus skaitļošanas, Džons Alens Pauls stāsta šo stāstu: “Vācu piecpadsmitā gadsimta tirgotājs jautāja kādam izcilam profesoram, kur viņam sūtīt savu dēlu, lai iegūtu labu uzņēmējdarbības izglītību. Profesors atbildēja, ka Vācijas universitātes būtu pietiekamas, lai zēnam mācītu saskaitīšanu un atņemšanu, bet viņam būs jādodas uz Itāliju, lai mācītos reizināšanu un dalīšanu. Pirms iecietīgi smaidāt, mēģiniet reizināt vai pat vienkārši pievienot romiešu ciparus CCLXIV, MDCCCIX, DCL un MLXXXI, vispirms tos netulkojot. ”

Paulos tam nesniedz nekādu avotu. Vai kāds zina, vai tas ir reāli vai nē? Un, ja tas patiešām ir reāls, kas ir šis “izcilais profesors”?


Tl; dr

Šis nav īsts stāsts, bet ilustratīvs apraksts, iespējams, izgudrots pagājušā gadsimta 30. gados.


Pirmie indo arābu cipari Eiropā ienāca 10. gadsimtā. Sākumā viņiem bija grūti. 13. gadsimtā itāļu Leonardo Fibonači publicēja Liber abaci (1202), kas popularizēja to izmantošanu tālāk, bet galvenokārt Itālijā. Pēc tam 1522. gadā tika publicēts Ādams Rīss Rechenung auff der linihen und federn Vācijā - un latīņu valodas vietā vācu valodā.

Hipotēze:
Tā ir diezgan labi izveidojusies šīs skaitliskās rakstīšanas un aprēķināšanas sistēmas izplatība Eiropā. Šī attiecīgā anekdote ir paredzēta kā ilustrācija tam. Ir apšaubāmi, ka tieši šī saruna notika vai tika ierakstīta šādā veidā. Galu galā, kāpēc "izcilais profesors" pats šo bērnu nemācīja, ja viņš bija pazīstams ar indo arābu cipariem un pārliecināts par to priekšrocībām?

Galu galā romiešu ciparu lietošana mums ir apgrūtinoša, salīdzinot ar indo arābu cipariem. Bet reizinājumus var veikt ar abakusu, un šis instruments ir piemērots romiešu ciparu lietošanai.

Tad jāskatās uz tā laika universitāšu sistēmu. The artes liberales viduslaikos ietvēra aritmētiku un ģeometriju. Bet tas bija labi pat ar romiešu cipariem. Un ne Medici, ne Fugger, ne Welser tirgotāji turp nedevās mācīties, lai apgūtu šo biznesu.

Viņi mācījās, veicot uzņēmējdarbību (vai paši, reti, laji, abakas skolas.) Viens no ievērojamākajiem piemēriem, bagātais Jakobs Fuggers:

Dokuments no Austrijas valsts arhīva tagad to parādīja Jākobs Fuggers 14 gadu vecumā 1473. gadā jau pārstāvēja savu ģimenes uzņēmumu Venēcijā. Citi pētījumi parādīja, ka Jakobs Fuggers gadus no 1473. līdz 1487. gadam pavadīja galvenokārt Fondaco dei Tedeschi, vācu tirgotāju mājā Venēcijā. Venēcija, kas tajā laikā bija viens no svarīgākajiem tirdzniecības centriem, izrādījās ideāla vide Jakoba Fuggera izglītībai banku nozarē un metāla tirdzniecībā. Viņa ilglaicīgā uzturēšanās Itālijā arī palīdzēja ieviest renesanses stilu Vācijas reģionā, un ar viņa finansējumu tika uzbūvētas pirmās šī stila ēkas, kas radās Itālijā. Venēcijas juridiskās un arhitektūras struktūras arī būtiski ietekmēja Fuggerei finansējumu, kas bija līdzīgs Venēcijas sociālajiem mājokļiem.

Tātad jēdziens "universitāte", šķiet, ir dāvana. Bez tā anekdote izskatās ticama. Daži tirgotāji sūtīja savus dēlus uz Itāliju, viņi nosūtīja viņus turp, lai apgūtu arodu, jo Itālijas sistēma viduslaikos bija daudz attīstītāka nekā jebkur citur Eiropā (banku jomā). Arī universitātes Itālijā bija vecas un labas. Vienkārši tirgotāji tur negāja.

Un kāpēc viņiem vajadzētu? Matemātikas izglītība Eiropas universitātēs bija diezgan pakāpiens, un tā bija ļoti nepraktiska dabā:

Mēs varam brīnīties, kāpēc viduslaiku universitāte ar visiem panākumiem loģikas un dabas filozofijas jomās un, neskatoties uz vairāku ievērojamu matemātiķu aktivitāti, nekad nav to novedusi tālu matemātikas izglītības jomā. […] Ciktāl tas attiecas uz matemātiku, lekcijas kopā ar diskusijām veicina metamatemātikas - tas ir, arī filozofijas - attīstību. Bet, lai kļūtu radošs pašā matemātikā un, iespējams, to izbaudītu, ir jādara matemātika, ne tikai jārunā par to. Mācīto skolu un universitāšu mācību programmā bija maz jomu, kurās varēja mācīties matemātiku. Computus bija viena no šādām jomām, taču tās matemātika nepārsniedza vienkāršu aritmētisko aprēķinu. Rithmomachia bija vēl viena, un spēle patiešām palika populāra līdz sešpadsmitajam gadsimtam. Trešais bija skaitļošana ar hindu -arābu cipariem astronomisko tabulu izmantošanā - iespējams, arī ne pārāk iedvesmojoša, bet tomēr joma, kas tika rūpīgi praktizēta renesanses laikmetā, vai nu pašas dēļ, vai (drīzāk) tāpēc, ka tā bija sine qua nav paredzēts vienkāršai astroloģiskai prognozēšanai. […]
Mēs ļoti maz zinām par pilsētnieku bērnu izglītību pēc pilsētas dzīves 12. gadsimta atdzimšanas. Dažas iestādes, piemēram, Parīzes Svētā Viktora skola, tās atzina, taču viņu piedāvātais, šķiet, bija slikti pielāgots nākotnei komerciālajā dzīvē (topošos amatniekus jebkurā gadījumā mācīja kā mācekļus); Pirenne (1929, 20. lpp.) Attiecas ka flāmu tirgotāja dēls tika ievietots klostera skolā ap 1200. gadu, lai uzzinātu, kas vajadzīgs tirdzniecībā - bet tad kļuva par mūku. Daži ierēdņi kalpoja par māju skolotājiem turīgās ģimenēs (Pirenne 1929, 21ff), un daži, iespējams, turēja privātskolas.
To, ka itāļu tirgotājus mācīja garīdznieki, kas raksta latīņu valodā, ilustrē Bonkompagno da Signa viņu vēstuļu apraksts (1215), kas rakstīts samaitātajā latīņu un tautas valodā. nav nekas cits kā izglītots minējums, kas balstīts uz to, ko mēs zinām no vēlākiem laikiem.
Jens Høyrup: "Matemātikas izglītība Eiropas viduslaikos", in: Alexander Karp & Gert Schubring (Eds): "Handbook on the History of Mathematics Education", Springer: New York, Heidelberg, 2014.

Tā pati anekdote ir atkārtoti stāstīta (14. lpp.) Rakstos Frank J. Swetz & David Eugene Smith: "Kapitālisms un aritmētika: 15. gadsimta jaunā matemātika, ieskaitot 1478. gada Trevizo aritmētikas pilnu tekstu, tulkojis Deivids Eižens Smits" , Open Court Publishing, 1987. Viņi arī nespēja autentificēt anekdoti.

Bet izcelsme ir izsekojama vismaz līdz Tobiasa Dancigam: "Skaitlis. Zinātnes valoda", MacMillan, 1930 (archive.org, 27. lpp.). Tur mēs arī neatrodam avota attiecinājumu, bet gan svarīgu kvalifikāciju:

Ir stāsts par piecpadsmitā gadsimta vācu tirgotāju, kuru man nav izdevies autentificēt, bet tas ir tik raksturīgi tobrīd pastāvošajai situācijai, ka nespēju pretoties kārdinājumam to izstāstīt. Šķiet, ka tirgotājam bija dēls, kuru viņš vēlējās iegūt augstāku komerciālo izglītību. Viņš vērsās pie kāda ievērojama universitātes profesora pēc padoma, kur viņam nosūtīt savu dēlu. Atbilde bija tāda, ka, ja jaunieša matemātikas mācību programma būtu jāaprobežojas tikai ar saskaitīšanu un atņemšanu, viņš, iespējams, varētu iegūt mācību Vācijas universitātē; bet pavairošanas un dalīšanas māksla, viņš turpināja, bija ļoti attīstījusies Itālijā, kas, pēc viņa domām, bija vienīgā valsts, kur varēja iegūt šādu padziļinātu apmācību.
Faktiski reizināšanai un dalīšanai, kā tolaik praktizēja, bija maz kopīga ar mūsdienu operācijām ar vienādiem nosaukumiem. Reizināšana, piemēram, bija sekmīga dublēšanās, kā tika nosaukts skaitļa dubultojums. Tādā pašā veidā sadalīšana tika samazināta līdz starpniecībai, t.i., “uz pusi” samazinot skaitli. Skaidrāku ieskatu rēķināšanas statusā viduslaikos var iegūt no piemēra. Izmantojot mūsdienu apzīmējumus:
Mēs sākam saprast, kāpēc cilvēce tik stūrgalvīgi turējās pie tādām ierīcēm kā abaks vai pat skaitlis. Skaitļošanai, ko bērns tagad var veikt, bija nepieciešami speciālista pakalpojumi, un tas, kas tagad ir tikai dažu minūšu jautājums, bija paredzēts divpadsmitā gadsimta sarežģītā darba dienās.
Ievērojami palielinātais aprīkojums, ar kuru vidusmēra cilvēks šodien manipulē ar skaitli, bieži tiek uzskatīts par pierādījumu cilvēka intelekta izaugsmei. Patiesība ir tāda, ka tad radušās grūtības bija raksturīgas izmantotajai numerācijai, kas nav pakļauta vienkāršiem, skaidriem noteikumiem. Mūsdienu pozicionālās numerācijas atklāšana novērsa šos šķēršļus un padarīja aritmētiku pieejamu pat vājākajam prātam.

Tas padarītu anekdoti par morāles stāstu, kurā vēstures laikā atrasti fragmenti kopā veidotu pamācošu stāstu par lēnu, bet uzvarošu progresīvismu,
kas nav pamatots faktiskajā vēsturē, par ko liecina pārāk daudz nepareizu detaļu stāstā (un visas tā ārpakalpojumu variācijas (piemērs, kas iestatīts vēl agrāk, bet procesā kļūstot ļoti nepareizi).

Tāpat kā cits instruktors secināja:

Zinātnes stāvokli viduslaiku Eiropā var raksturot ar anekdoti, par kuru ziņots Ifrahā (2000):

Kāds vācu tirgotājs vēlējās dot savam dēlam vislabāko iespējamo izglītību. Viņš pieaicināja cienījamu profesoru un jautāja, uz kuru universitāti viņam viņu nosūtīt. Profesora padoms bija šāds: "Vācijas universitāte darīs, ja viņš gribēs mācīties tikai saskaitīšanu un atņemšanu. Ja viņš vēlas apgūt arī reizināšanu un dalīšanu, viņam jāiet uz Itālijas universitāti."

Anekdotes ir kā karikatūras; tie pārspīlē tipiskas iezīmes, taču tiem ir patiess kodols. Viduslaiku tirgotāja stāsts parāda, ka visas lekcijas pavadīšana par viduslaiku zinātni Eiropā ir nenoliedzams kultūras aizspriedumu akts. No pasaules vēstures viedokļa to nevar attaisnot. Vienīgais attaisnojums, ko varu piedāvāt, ir tas, ka esmu dzimis Eiropas civilizācijā un tāpēc esmu ieinteresēts pat Eiropas drūmākajos laikos.

Matiass Tomčaks: "Zinātnes stāvoklis viduslaiku Eiropā.", Zinātne, civilizācija un sabiedrība, CPES 2220: 35 lekciju kurss, kas pirmo reizi tika lasīts Dienvid Austrālijas Flindersas universitātē 2004. gada otrajā pusē.


Interesanti, ka šī anekdote runā par vācu tirgotāju. Angļu valodā runājošais tīmeklis un grāmatas, sākot no 30. gadiem, šo stāstu atkārto vairākas reizes, galvenokārt ar dažām minūtēm.
Tomēr šķiet, ka vācu grāmatas šo stāstu kopē tikai pēdējos gados. Ne tāpēc, ka tas būtu kaut kas, bet agrākais ieraksts par to vācu valodas publikācijās, šķiet, ir no 1999. gada (un tas pat sākotnēji bija amerikānis)?


Kāds piecpadsmitā gadsimta vācu tirgotājs vaicāja kādam izcilam profesoram, kur viņam sūtīt savu dēlu, lai iegūtu labu uzņēmējdarbības izglītību.

Ir skaidrs, ka šo stāstu autors ir izdomājis ilustrācijas nolūkos. 15. gadsimtā universitātēm nebija nekāda sakara ar uzņēmējdarbības izglītību. Skatiet, piemēram, "Trivium" un "Quadrivium" Vikipēdijā. Biznesa matemātika (piemēram, "divkārša ieraksta grāmatvedība" un abacus izmantošana) tika mācīta privāti, un Itālija patiešām bija vieta biznesa matemātikas studijām. Kāpēc Itālija? Iespējams, tāpēc, ka tā ir ciešāk saistīta ar Tuvo Austrumu tirdzniecību.

Liber Abacus, kas Eiropā ieviesa decimālo aritmētiku, Itālijas tirgotājs Fibonači publicēja 13. gadsimtā, tāpēc es domāju, ka decimāldaļu sistēma tirgotāju vidū jau bija plaši izmantota divsimt gadus vēlāk. Fibonači nebija saistīts ar nevienu universitāti. Viņš apguva biznesa matemātiku, ceļojot uz Alžīriju.

Skaitļu reizināšanai un dalīšanai, kā arī citiem gariem aprēķiniem tika izmantots vienkāršs skaitļošanas palīglīdzeklis (abacus).


Izglītība Itālijā

Izglītība Itālijā ir obligāta no 6 līdz 16 gadu vecumam, [2] un ir sadalīta piecos posmos: bērnudārzs (scuola dell'infanzia), pamatskola (scuola primaria vai scuola elementare), vidusskola (scuola secondaria di primo grado vai scuola media inferiore), vidusskola (scuola secondaria di secondo grado vai scuola media superiore) un universitāte (università). [3] Itālijā izglītība ir bez maksas, un bezmaksas izglītība ir pieejama visu tautību bērniem, kuri ir Itālijas iedzīvotāji. Itālijā ir gan privāta, gan valsts izglītības sistēma. [4]

Izglītība Itālijā
Ministro dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca
Izglītības ministrsPatrizio Bianchi
Valsts izglītības budžets (2016)
Budžets65 miljardi eiro
Vispārīga informācija
Primārās valodasItāļu
Sistēmas tipspubliski
Obligātā pamatizglītība1859
Lasītprasme (2015)
Kopā99.2% [1]
Izlikt vidējo386,000

ESAO koordinētajā Starptautiskā studentu novērtēšanas programmā Itālijas 15 gadus veco jauniešu kopējās zināšanas un prasmes lasīšanas, lasītprasmes un matemātikas jomā pasaulē ieņem 34. vietu, kas ir ievērojami zemāks par ESAO vidējo rādītāju 493. [5]


VIDUSGADA MATEMATIKA

Gadsimtu laikā, kad ķīniešu, indiešu un islāma matemātiķi bija uzplaukumā, Eiropa bija iekritusi tumšajos viduslaikos, kuros zinātne, matemātika un gandrīz visi intelektuālie centieni stagnēja.

Scholastic zinātnieki augstu vērtēja tikai humanitāro zinātņu studijas, piemēram, filozofiju un literatūru, un lielu daļu savas enerģijas tērēja strīdiem par smalkiem metafizikas un teoloģijas priekšmetiem, piemēram, “Cik eņģeļu var stāvēt uz adatas?

No 4. līdz 12. gadsimtam Eiropas zināšanas un aritmētikas, ģeometrijas, astronomijas un mūzikas izpēte aprobežojās galvenokārt ar Bētija tulkojumiem dažiem sengrieķu meistaru, piemēram, Nikomaka un Eiklida, darbiem. Visa tirdzniecība un aprēķini tika veikti, izmantojot neveiklo un neefektīvo romiešu ciparu sistēmu, un ar abakusu, kas balstīts uz grieķu un romiešu modeļiem.

Pēc 12. gadsimtstomēr, Eiropa, un it īpaši Itālija, sāka tirgoties ar austrumiem, un austrumu zināšanas pamazām sāka izplatīties uz rietumiem. Roberts no Čestera 12. gadsimtā iztulkoja Al-Khwarizmi nozīmīgo grāmatu par algebru latīņu valodā, un pilnu Eiklida “Elementu” tekstu dažādās versijās tulkoja Adelards no Bates, Hermanis no Karintijas un Džerards no Kremonas. Lielā tirdzniecības un komercijas paplašināšanās kopumā radīja pieaugošu praktisku vajadzību pēc matemātikas, un aritmētika daudz vairāk ienāca vienkāršo cilvēku dzīvē un vairs neaprobežojās tikai ar akadēmisko jomu.

Tipogrāfijas parādīšanās gadā 15. gadsimta vidus bija arī milzīga ietekme. Tika izdotas daudzas grāmatas par aritmētiku, lai mācītu uzņēmējiem skaitļošanas metodes savām komerciālajām vajadzībām, un matemātika pamazām sāka iegūt svarīgāku vietu izglītībā.

Eiropa pirmais lielais viduslaiku matemātiķis bija itāļu Leonardo no Pizas, labāk pazīstams ar segvārdu Fibonači. Lai gan tas vislabāk pazīstams ar tā saukto Fibonači skaitļu secību, iespējams, viņa vissvarīgākais ieguldījums Eiropas matemātikā bija viņa loma hinduistu-arābu ciparu sistēmas izmantošanas izplatīšanā visā Eiropā 13. gadsimta sākumā, kas drīz izveidoja romiešu ciparu sistēmu. novecojis un pavēra ceļu lieliem sasniegumiem Eiropas matemātikā.

Oresme bija viens no pirmajiem, kas izmantoja grafisko analīzi

Svarīgs (bet lielā mērā nezināms un nepietiekami novērtēts) 14. gadsimta matemātiķis un zinātnieks bija francūzis Nikola Oresme. Viņš izmantoja taisnstūra koordinātu sistēmu gadsimtus pirms viņa tautietis Renē Dekarts popularizēja šo ideju, kā arī, iespējams, pirmo laika un ātruma attāluma grafiku. Turklāt, vadoties no muzikoloģijas pētījumiem, viņš pirmais izmantoja daļskaitļa eksponentus, kā arī strādāja pie bezgalīgām sērijām, būdams pirmais, kurš pierādīja, ka harmonisko sēriju 1 ⁄1 + 1 ⁄2 + 1 ⁄3 + 1 ⁄4 + 1 ⁄5… Ir atšķirīga bezgalīga sērija (t.i., nav tendence uz robežu, izņemot bezgalību).

Vācu zinātnieks Regiomontatus, iespējams, bija spējīgākais matemātiķis 15. gadsimts, viņa galvenais ieguldījums matemātikā ir trigonometrijas jomā. Viņš palīdzēja atdalīt trigonometriju no astronomijas, un lielā mērā viņa centienu dēļ trigonometrija tika uzskatīta par neatkarīgu matemātikas nozari. Viņa grāmata "De Triangulis“, Kurā viņš aprakstīja lielu daļu trigonometrisko pamatzināšanu, ko tagad māca vidusskolā un koledžā, bija pirmā lieliskā grāmata par trigonometriju, kas parādījās drukātā veidā.

Jāpiemin arī Nikolajs no Kusas (vai Nikolajs Kuzans), 15. gadsimta vācu filozofs, matemātiķis un astronoms, kura priekšstati par bezgalīgo un bezgalīgo mazo tieši ietekmēja vēlākos matemātiķus, piemēram, Gotfrīdu Leibnicu un Georgu Kantoru. Viņam piederēja arī dažas izteikti nestandarta intuitīvas idejas par Visumu un Zemes stāvokli tajā, kā arī par planētu elipsveida orbītām un relatīvo kustību, kas paredzēja Kopernika un Keplera vēlākos atklājumus.


Zinātne un filozofija:

Arābu ieguldījums

Viduslaikos mūki un garīdznieki bija pazīstami ar lielu daļu grieķu un romiešu rakstu. Bet viņi nebija tos plaši darījuši zināmus. Četrpadsmitajā gadsimtā daudzi zinātnieki sāka lasīt grieķu rakstnieku, piemēram, Platona un Aristoteļa tulkotos darbus. Faktiski arābu tulki bija rūpīgi saglabājuši un tulkojuši senos rokrakstus arābu valodā. Turklāt daži Eiropas zinātnieki tulkoja arābu un persiešu zinātnieku darbus tālākai nosūtīšanai uz Eiropu. Tie bija darbi par dabaszinātnēm, matemātiku, astronomiju, medicīnu un ķīmiju. Universitāšu mācību programmās joprojām dominēja tiesības, medicīna un teoloģija. Bet humānistiskos priekšmetus lēnām sāka ieviest skolās.

Mākslinieki un reālisms

Māksliniekus iedvesmoja “perfekti” proporcionālu vīriešu un sieviešu figūras, kas veidotas pirms daudziem gadsimtiem Romas impērijas laikā. Itāļu tēlnieki turpināja strādāt pie šīs tradīcijas, lai radītu reālistiskas statujas. Mākslinieku centieniem būt precīziem palīdzēja zinātnieku darbs. Mākslinieki devās uz medicīnas skolu laboratorijām, lai varētu studēt anatomiju. Gleznotāji izmantoja ģeometrijas zināšanas, lai saprastu perspektīvu. Viņi izmantoja pareizu gaismas ēnu kombināciju, lai gleznās radītu trīsdimensiju kvalitāti. Eļļas krāsa gleznām piešķīra lielāku krāsu bagātību nekā iepriekš. Ķīniešu un persiešu mākslas ietekmi var redzēt, attēlojot tērpus daudzās gleznās. Tādējādi anatomijai, ģeometrijai, fizikai un spēcīgai sajūtai par to, kas bija skaists, ir jauna kvalitāte itāļu mākslā. Šo mākslu vēlāk sauca par “reālismu”, un kustība turpinājās līdz deviņpadsmitajam gadsimtam.

Arhitektūra

Piecpadsmitajā gadsimtā Romas pilsēta iespaidīgā veidā atdzīvojās. Kopš 1417. gada pāvesti kļuva politiski spēcīgāki. Viņi aktīvi mudināja izpētīt Romas vēsturi. Romas drupas arheologi rūpīgi izraka. Tas iedvesmoja impērijas romiešu arhitektūras stila atdzimšanu. Tagad to sauca par “klasisko”. Pāvesti, turīgi tirgotāji un aristokrāti nodarbināja arhitektus, kuri bija pazīstami ar klasisko arhitektūru. Mākslinieki un tēlnieki tika nodarbināti arī, lai rotātu ēkas ar gleznām, skulptūrām un reljefiem. Daži mākslinieki bija vienlīdz kvalificēti kā gleznotāji, tēlnieki un arhitekti, piem. Mikelandželo Buonaroti (1475-1564), Filippo Brunelleschi (1337-1446). Vēl viena ievērojama pārmaiņa bija tā, ka no šī brīža mākslinieki bija pazīstami individuāli, t.i., pēc vārda, nevis kā grupas vai ģildes locekļi.

Pirmās drukātās grāmatas

Drukas tehnoloģijas attīstība bija sešpadsmitā gadsimta lielākā revolūcija. Drukāšanas tehnoloģija nāca no Ķīnas. Johanness Gūtenbergs (1400-1458), vācietis, izgatavoja pirmo iespiedmašīnu. Līdz 1500. gadam Itālijā tika iespiesti daudzi klasiskie teksti, gandrīz visi latīņu valodā. Drukas tehnoloģija nodrošināja, ka zināšanas, idejas, viedokļi un informācija pārvietojas strauji un plaši nekā jebkad agrāk. Tagad cilvēki varēja lasīt grāmatas. Itālijas humānistiskā kultūra straujāk izplatījās no piecpadsmitā gadsimta beigām, jo ​​pieaug drukāto grāmatu popularitāte.


Lielākā daļa matemātiķu nāk no tikai 24 zinātniskām “ģimenēm”

Matemātikas evolūcija tika izsekota, izmantojot neparasti visaptverošu ģenealoģijas datu bāzi.

Lielākā daļa pasaules matemātiķu ietilpst tikai 24 zinātniskās “ģimenēs”, no kurām viena datēta ar piecpadsmito gadsimtu. Ieskats iegūts, analizējot Matemātikas ģenealoģijas projektu (MGP), kura mērķis ir savienot visus matemātiķus - dzīvus un mirušus - ciltskokos, pamatojoties uz skolotāju un skolēnu līnijām, jo ​​īpaši to, kurš bija indivīda doktora padomnieks.

Analīzē tiek izmantots arī MGP - vispilnīgākais šāds projekts -, lai izsekotu zinātnes vēstures tendencēm, tostarp Amerikas Savienoto Valstu kā zinātniskas varas parādīšanos 20. gados un kad dažādas matemātiskās apakšnozares kļuva dominējošas 1.

"Jūs varat redzēt, kā matemātika ir attīstījusies laikā," saka Floriana Gargiulo, kura studē tīklu dinamiku Namuras universitātē, Beļģijā un vadīja analīzi.

MGP rīko Ziemeļdakotas štata universitāte Fargo, un to līdzfinansē Amerikas Matemātikas biedrība. Kopš deviņdesmito gadu sākuma tās organizatori ir ieguvuši informāciju no universitāšu departamentiem un personām, kas sniedz informāciju par sevi vai par cilvēkiem, par kuriem viņi pazīst. Uz 25. augustu MGP bija 201 618 ieraksti. Organizatori, kā arī doktorantu (pēdējā laikā doktorantūras padomnieki) un akadēmisko matemātiķu skolēni, reģistrē tādas detaļas kā universitāte, kas piešķīra doktora grādu.

Iepriekš pētnieki bija izmantojuši MGP, lai rekonstruētu savus doktora grādu kokus vai lai noskaidrotu, cik pētniekam ir “pēcnācēju” (lasītāji var paši meklēt šeit). Gargiulo komanda vēlējās veikt visaptverošu visas datu bāzes analīzi un sadalīt to atsevišķās ģimenēs, nevis tikai aplūkot, cik pēcteču ir kādai personai.

Pēc datu bāzes lejupielādes Gargiulo un viņas kolēģi uzrakstīja mašīnmācīšanās algoritmus, kas pārbaudīja un papildināja MGP datus ar informāciju no Wikipedia un no zinātnieku profiliem Scopus bibliogrāfiskajā datubāzē.

Tas atklāja 84 atšķirīgus dzimtas kokus, un divas trešdaļas pasaules matemātiķu bija koncentrēti tikai 24 no tiem. Augsta klasterizācijas pakāpe daļēji rodas tāpēc, ka algoritmi katram matemātiķim piešķīra tikai vienu akadēmisko vecāku: ja indivīdam bija vairāk nekā viens padomdevējs, viņam tika piešķirts tas, kuram ir lielāks tīkls. Bet šī parādība ir saistīta ar anekdotiskiem ziņojumiem no tiem, kuri pēta savus matemātiskos senčus, saka MGP direktors Mitchels Kellers, matemātiķis Vašingtonā un Lī universitātē Leksingtonā, Virdžīnijas štatā. "Lielākā daļa no viņiem saskaras ar Eileru, Gausu vai kādu citu lielu vārdu," viņš saka.

Lai gan MGP joprojām ir nedaudz orientēta uz ASV, mērķis ir, lai tā kļūtu pēc iespējas starptautiska, saka Kellers.

Īpaši lielākā dzimtas koka priekštecis nav matemātiķis, bet ārsts: Sigismondo Polcastro, kurš piecpadsmitā gadsimta sākumā pasniedza medicīnu Itālijas Padujas universitātē. Saskaņā ar analīzi viņam ir 56 387 pēcnācēji. Otru lielāko koku deviņpadsmitā gadsimta beigās uzsāka krievs, vārdā Ivans Dolbņa.

Autori arī izsekoja matemātisko aktivitāti pa valstīm, kas, šķiet, precīzi noteica galvenos vēsturiskos notikumus. Aptuveni laikā, kad Austrijas-Ungārijas impērija izjuka Pirmajā pasaules karā, šajā reģionā samazinās matemātikas doktora grādu skaits, atzīmē Gargiulo. Laikā no 1920. līdz 1940. gadam ASV pārņēma Vāciju kā valsti, kas katru gadu ražo visvairāk matemātikas doktora grādu. Un Padomju Savienības uzplaukumu raksturo doktora grādu maksimums 1960. gados, kam sekoja relatīvs kritums pēc savienības izjukšanas 1991. gadā.

Gargiulo komanda arī aplūkoja matemātisko apakšlauku dominanti attiecībā pret otru. Pētnieki atklāja, ka divdesmitā gadsimta pirmajā pusē dominējošais stāvoklis no matemātiskās fizikas pārgāja uz tīru matemātiku, vēlāk - uz statistiku un citām lietišķajām disciplīnām, piemēram, datorzinātnēm.

Īpatnības matemātikas jomā varētu izskaidrot, kāpēc tai ir visplašākā jebkuras disciplīnas ģenealoģijas datu bāze. “Matemātiķi ir nedaudz atšķirīgi no visas pasaules,” saka Roberta Sinatra, tīkla un datu zinātniece Budapeštas Centrāleiropas universitātē, kura vadīja 2015. gada pētījumu, kurā tika kartēta fizikas apakšnozaru attīstība, iegūstot datus no zinātniskā tīmekļa dokumentiem 2.

Viņa saka, ka matemātiķi publicē mazāk nekā citi pētnieki, un viņi nosaka savu akadēmisko reputāciju ne tik daudz par to, cik daudz viņi publicē, vai uz atsauču skaitu, bet gan uz to, ar ko viņi ir sadarbojušies, ieskaitot viņu mentorus. "Es domāju, ka nav nejaušība, ka viņiem ir šis ģenealoģijas projekts."

Vismaz viena disciplīna cenšas panākt. Astronomijas vēsturnieks Džozefs Tenns no Sonomas štata universitātes Kalifornijā plāno līdz 2017. gadam uzsākt projektu AstroGen, lai ierakstītu doktorantūras padomniekus un astronomu studentus. "Es to sāku," viņš saka, "jo tik daudzi mani kolēģi astronomijā apbrīnoja matemātikas ģenealoģijas projektu un priecājās par to."


Sievietes angļu renesanse

Renesanse bija periods no 14. līdz 17. gadsimtam Eiropā, kas tiek definēts kā mākslas atdzimšanas laiks. Renesanse sākās Itālijā, kas bija šīs revolūcijas centrs starp četrpadsmito un sešpadsmito gadsimtu, starp Eiropu un Eirāziju. Šajā periodā dažādas mākslas formas, tēlnieki, gleznas un arhitektūra ieguva jaunu pavērsienu un definēja jaunus jēdzienus mākslas jomā. Laikposms sākas četrpadsmitajā gadsimtā no revolūcijas centra Itālijas un lēnām virzās uz visām Eiropas daļām līdz pat piecpadsmitajam gadsimtam. Šīs revolūcijas mērķis ir sekot kultūrai, kas bija daļa no senās grieķu un romiešu vēstures. Šie jaunie gudrības un mākslas jēdzieni sākotnēji bija vērsti uz vīriešiem un sievietēm, kuri tika izslēgti no vienlīdzīgas iesaistīšanās revolūcijā. Tas bija laiks, kad sievietes tika sadalītas augstākajā un zemākajā klasē, kuru augšējā klase varēja piedalīties pasākumos, bet zemākā klase bija ārkārtīgi apspiesta un bija paredzēta bērnu dzemdēšanai un vīriešu kalpošanai. Šīs revolūcijas rezultātā tika dotas iespējas sievietēm, kuras līdz tam bija apspiestas visās dzīves jomās. Šis dokuments ir vērsts uz sieviešu lomu renesanses periodā un to, kā viņi šajā laikā izturējās pret savu ģimeni, darbu un ikdienas dzīvi, tajā tiks salīdzinātas arī renesanses sievietes ar pusmūža sievietēm. Sieviešu loma renesanses periodā un viņu kalpošana sabiedrībā kļuva par iemeslu sieviešu pilnvarošanai, kas nebija iespējama viduslaikos.

Diskusija

Sievietes sākotnēji nebija aktīva revolūcijas sastāvdaļa, un viņu sociālais un ekonomiskais stāvoklis kļuva par šķērsli viņu iesaistīšanai. Līdz sešpadsmitā gadsimta sievietes nebija aktīva revolūcijas sastāvdaļa, un viņu izaugsmi jaunos mākslas veidos apspieda vīriešu dominējošās sabiedrības spēcīgais spēks. Tālāk mēs aprakstīsim viņu lomas šajā periodā kā mātēm, strādājošām sievietēm un kā aktīvai sabiedrības daļai.

Sievietes renesansē uzskatīja par tikumīgu attieksmi pret savu ģimeni un pienākumiem. Sievietes renesanses laikā bija spiestas meklēt bērnus un mājsaimniecību, un vīrieši viņus nomāca (Herlihy, David, 1995). Viņiem joprojām izdevās uzlabot savu dzīvesveidu, uzrādot ikdienas pienākumus kā daļu no savām saistībām. Slimību uzliesmojums 15. gadsimtā nogalināja daudzus reģiona iedzīvotājus, un bija nepieciešams kāds, kas uzņemtos tajā laikā nepieciešamās darba lomas, sievietes sāka piedalīties, veicot šos darbus, bet vīrieši viņus apspieda. (Mitchell, Linda, 2012). Lai atbalstītu ģimenes, daudzas sievietes sāka strādāt par medmāsām un Florences salonos.

Cildenās un zemākās klases sievietes sniedza savus pakalpojumus, strādājot par slapjām medmāsām un Florences salonos. Lai gan viņiem bija savas ģimenes un bērni, viņu dienests darbos nekad nemainīja viņu vēlmes un viņi aktīvi piedalījās mājsaimniecības darbos. Viņu augstais tikums iesaistītajā sabiedrībā motivēja viņus strādāt par zīda vērpējiem, mājkalpotājām un maizes veikalos, kad viņi zināja, ka šie darbi ir jāveic vīriešiem, taču viņiem bija jāpiešķir spējas sev un savai ģimenei, tāpēc viņi pretojās katrai pret viņu vērstajai kustībai. (Vords, Dženifera, 2016).

Cildenās sievietes gaidīja savas politiskās tiesības no valdības (Tomas, Natalie, 2017). Viņi pieprasīja savas tiesības kā cienījamiem sabiedrības locekļiem un lūdza nodrošināt iespējas darbā (Chadwick, 1990). Viņi pieprasīja savas tiesības, izvēloties savu dzīves partneri, kas bija dilemma renesanses periodā, un sievietes tika pārdotas par pūru un lai atrisinātu personiskos konfliktus (Kirshner, Julius, 2015).

Renesanses periodā sievietes saprata nepieciešamību pēc izglītības, lai neatpaliktu no progresējošās pasaules un sasniegtu savu statusu savā sabiedrībā. (Wyles, R., & amp. Hall, 2016) mācību metodes sāka attīstīties 14. gadsimtā, un tās sasniedza savu augstumu līdz 15. gadsimta beigām. (Charlton, 2013) Sieviešu interese galvenokārt bija grieķu un latīņu literatūra. Ar humānistu iniciatīvām sievietes sāka apgūt mākslu, arhitektūru un valodas. izglītības iespējām bija atšķirības klasēs. Lielākā daļa dižciltīgo sieviešu saņēma mājas izglītību no šīs jomas ekspertiem un apguva galvenos priekšmetus, kas tajā laikā bija populāri angļu valodā. (Hexter, Jack H, 1950) Tomēr tiek uzskatīts, ka nabadzīgās klases un atraitnes cīnās par pamattiesībām uz izglītību, un viņu progress bija lēns, jo to neatbalstīja tā laika politika un valdība (Wainwright, Anna, 2018)

Sievietes renesanses laikā bija ļoti ieinteresētas mūzikā un mākslā. angļu renesanses sieviešu komponētās dziesmas aprakstīja grūtības un cīņu, ko viņi pārdzīvoja. sākotnējo dziesmu kompozīciju izpildīja Svētās Klāras pilsētā Florencē baznīcu locekļi. dziesmas pārsvarā bija kapelas un dziedāja mūķenes. (Tomas, Natalie, 2017) Renesanses laikmeta mākslinieces glezniecībā izstrādāja pārsteidzošas jaunas tehnikas. Arī viņu gleznās tika aprakstīta apspiešana, ko uz viņiem virzīja sabiedrība. viņu gleznas iezīmēja galvenās problēmas, ar kurām saskaras sievietes, un viņu cīņu. ļoti maz sieviešu mākslinieku saņēma atzinību un atzinību. Sofonisba Anguissola ir viena no šīm nedaudzajām māksliniecēm, kura ar savas otas spēku uzbruka sieviešu apspiešanai. viņa aprakstīja tā laika galvenās problēmas, galveno uzmanību pievēršot “sievietēm”. (Zods, Lilija, 2018)

Sieviešu loma renesansē kļuva par iemeslu sievietēm. Viduslaikos sievietēm nebija tiesību, un viņu lomas aprobežojās ar vīra un ģimenes mājām. Bībelē bija tādi jēdzieni, ka sievietes pieļauj cilvēku kļūdas, un viņām nav tiesību piedalīties sabiedrībā vai sociālajā politikā. Pēc renesanses sievietes iestājās pret vīriešu pārākumu sabiedrībā. They started participating in society jobs, politics and education (Tomas, Natalie, 2017). They asked for respectable positions in society and their efforts were fruitful when the government started giving them job opportunities and places in politics.

Secinājums

The women in renaissance made huge efforts for their equal rights. They were suppressed in all job role of the society and were kept ignorant on purpose. After the renaissance women started to understand their place in the society and started fighting for it. They started taking part in various jobs and learned the value of education. While they fought for the equal rights as men they never forgot their obligations and need in their family, they continued to serve their families and people depending on them and side by side worked in various jobs as servants, nurses and as silk workers.

Darbi citēti

Beilin, Elaine V. Redeeming Eve: women writers of the English Renaissance. Princeton University Press, 2014.

Chadwick, Whitney, and Whitney Chadwick. Women, art, and society. London: Thames and Hudson, 1990.

Charlton, Kenneth. Education in Renaissance England. Sēj. 1. Routledge, 2013.

Chin, Lily. “SOFONISBA ANGUISSOLA AND HER EARLY TEACHERS.” (2018).

Herlihy, David. Women, family, and society in medieval Europe: historical essays, 1978-1991. Berghahn Books, 1995.

Hexter, Jack H. “The Education of the Aristocracy in the Renaissance.” The Journal of Modern History 22.1 (1950): 1-20.

Kirshner, Julius. Marriage, dowry, and citizenship in late medieval and Renaissance Italy. Sēj. 2. University of Toronto Press, 2015.

Klapisch-Zuber, Christiane. Women, family, and Ritual in Renaissance Italy. University of Chicago Press, 1987.

Mitchell, Linda E., ed. Women in Medieval Western European Culture. Routledge, 2012.

Shuger, Debora K. Sacred rhetoric: The Christian grand style in the English Renaissance. Princeton University Press, 2014.

Tomas, Natalie R. The Medici women: gender and power in Renaissance Florence. Taylor & Francis, 2017.

Tomas, Natalie. “The grand ducal Medici and their archive (1537-1543) women artists in early modern Italy: Careers, fame, and collectors [Book Review].” Parergon 34.2 (2017): 179.

Wainwright, Anna. “Teaching Widowed Women, Community, and Devotion in Quattrocento Florence with Lucrezia Tornabuoni and Antonia Tanini Pulci.” Religions 9.3 (2018): 76.

Ward, Jennifer. Women in medieval Europe: 1200-1500. Routledge, 2016.

Wyles, R., & Hall, E. (Eds.). (2016). Women Classical Scholars: Unsealing the Fountain from the Renaissance to Jacqueline de Romilly. Oksfordas Universitātes prese.


The Mathematical Cultures of Medieval Europe - Introduction

Mathematics in medieval Europe was not just the purview of scholars who wrote in Latin, although certainly the most familiar of the mathematicians of that period did write in that language, including Leonardo of Pisa, Thomas Bradwardine, and Nicole Oresme. These authors &ndash and many others &ndash were part of the Latin Catholic culture that was dominant in Western Europe during the Middle Ages. Yet there were two other European cultures that produced mathematics in that time period, the Hebrew culture found mostly in Spain, southern France, and parts of Italy, and the Islamic culture that predominated in Spain through the thirteenth century and, in a smaller geographic area, until its ultimate demise at the end of the fifteenth century. These two cultures had many relationships with the dominant Latin Catholic culture, but also had numerous distinct features. In fact, in many areas of mathematics, Hebrew and Arabic speaking mathematicians outshone their Latin counterparts. In what follows, we will consider several mathematicians from each of these three mathematical cultures and consider how the culture in which each lived influenced the mathematics they studied.

We begin by clarifying the words &ldquomedieval Europe&rdquo, because the dates for the activities of these three cultures vary considerably. Catholic Europe, from the fall of the Western Roman Empire up until the mid-twelfth century, had very little mathematical activity, in large measure because most of the heritage of ancient Greece had been lost. True, there was some education in mathematics in the monasteries and associated schools &ndash as Charlemagne, first Holy Roman Emperor, had insisted &ndash but the mathematical level was very low, consisting mainly of arithmetic and very elementary geometry. Even Euclid&rsquos Elements were essentially unknown. About the only mathematics that was carried out was that necessary for the computation of the date of Easter.

Recall that Spain had been conquered by Islamic forces starting in 711, with their northward push being halted in southern France in 732. Beginning in 750, Spain (or al-Andalus) was ruled by an offshoot of the Umayyad Dynasty from Damascus. The most famous ruler of this transplanted Umayyad Dynasty, with its capital in Cordova, was &lsquoAbd al-Raḥmān III, who proclaimed himself Caliph early in the tenth century, cutting off all governmental ties with Islamic governments in North Africa. He ruled for a half century, from 912 to 961, and his reign was known as &ldquothe golden age&rdquo of al-Andalus. His son, and successor, al-Ḥakam II, who reigned from 961 to 977, was, like his father, a firm supporter of the sciences who brought to Spain the best scientific works from Baghdad, Egypt, and other eastern countries. And it is from this time that we first have mathematical works written in Spain that are still extant.

Al-Ḥakam&rsquos son, Hishām, was very young when he inherited the throne on the death of his father. He was effectively deposed by a coup led by his chamberlain, who soon instituted a reign of intellectual terror that lasted until the end of the Umayyad Caliphate in 1031. At that point, al-Andalus broke up into many small Islamic kingdoms, several of which actively encouraged the study of sciences. In fact, Sā&lsquoid al-Andalusī, writing in 1068, noted that &ldquoThe present state, thanks to Allah, the Highest, is better than what al-Andalus has experienced in the past there is freedom for acquiring and cultivating the ancient sciences and all past restrictions have been removed&rdquo [Sā&lsquoid, 1991, p. 62].

1. attēls. Maps of Spain in 910 (upper left), 1037 (upper right), 1150 (lower left), and 1212-1492 (lower right)

Meanwhile, of course, the Catholic &ldquoReconquista&rdquo was well underway, with a critical date being the reconquest of Toledo in 1085. Toledo had been one of the richest of the Islamic kingdoms, but was conquered in that year by Alfonso VI of Castile. Fortunately, Alfonso was happy to leave intact the intellectual riches that had accumulated in the city, and so in the following century, Toledo became the center of the massive transfer of intellectual property undertaken by the translators of Arabic material, including previously translated Greek material, into Latin. In fact, Archbishop Raymond of Toledo strongly encouraged this effort. It was only after this translation activity took place, that Latin Christendom began to develop its own scientific and mathematical capabilities.

But what of the Jews? There was a Jewish presence in Spain from antiquity, and certainly during the time of the Umayyad Caliphate, there was a strong Jewish community living in al-Andalus. During the eleventh century, however, with the breakup of al-Andalus and the return of Catholic rule in parts of the peninsula, Jews were often forced to make choices of where to live. Some of the small Islamic kingdoms welcomed Jews, while others were not so friendly. And once the Berber dynasties of the Almoravids (1086-1145) and the Almohads (1147-1238) from North Africa took over al-Andalus, Jews were frequently forced to leave parts of Muslim Spain. On the other hand, the Catholic monarchs at the time often welcomed them, because they provided a literate and numerate class &ndash fluent in Arabic &ndash who could help the emerging Spanish kingdoms prosper. By the middle of the twelfth century, most Jews in Spain lived under Catholic rule. However, once the Catholic kingdoms were well-established, the Jews were often persecuted, so that in the thirteenth century, Jews started to leave Spain, often moving to Provence. There, the Popes, in residence at Avignon, protected them. By the end of the fifteenth century, the Spanish Inquisition had forced all Jews to convert or leave Spain.

Figure 2. Papal territories in Provence

It was in Provence, and later in Italy, that Jews began to fully develop their interest in science and mathematics. They also began to write in Hebrew rather than in Arabic, their intellectual language back in Muslim Spain.

Victor J. Katz (University of the District of Columbia), "The Mathematical Cultures of Medieval Europe - Introduction," Convergence (December 2017)


Leonardo Pisano Fibonacci

Fibonacci ended his travels around the year 1200 and at that time he returned to Pisa. There he wrote a number of important texts which played an important role in reviving ancient mathematical skills and he made significant contributions of his own. Fibonacci lived in the days before printing, so his books were hand written and the only way to have a copy of one of his books was to have another hand-written copy made. Of his books we still have copies of Liber abaci Ⓣ (1202) , Practica geometriae Ⓣ (1220) , Flos Ⓣ (1225) , and Liber quadratorum Ⓣ . Given that relatively few hand-made copies would ever have been produced, we are fortunate to have access to his writing in these works. However, we know that he wrote some other texts which, unfortunately, are lost. His book on commercial arithmetic Di minor guisa Ⓣ is lost as is his commentary on Book X of Euclid's Elements which contained a numerical treatment of irrational numbers which Euclid had approached from a geometric point of view.

One might have thought that at a time when Europe was little interested in scholarship, Fibonacci would have been largely ignored. This, however, is not so and widespread interest in his work undoubtedly contributed strongly to his importance. Fibonacci was a contemporary of Jordanus but he was a far more sophisticated mathematician and his achievements were clearly recognised, although it was the practical applications rather than the abstract theorems that made him famous to his contemporaries.

The Holy Roman emperor was Frederick II. He had been crowned king of Germany in 1212 and then crowned Holy Roman emperor by the Pope in St Peter's Church in Rome in November 1220 . Frederick II supported Pisa in its conflicts with Genoa at sea and with Lucca and Florence on land, and he spent the years up to 1227 consolidating his power in Italy. State control was introduced on trade and manufacture, and civil servants to oversee this monopoly were trained at the University of Naples which Frederick founded for this purpose in 1224 .

Frederick became aware of Fibonacci's work through the scholars at his court who had corresponded with Fibonacci since his return to Pisa around 1200 . These scholars included Michael Scotus who was the court astrologer, Theodorus Physicus the court philosopher and Dominicus Hispanus who suggested to Frederick that he meet Fibonacci when Frederick's court met in Pisa around 1225 .

Johannes of Palermo, another member of Frederick II's court, presented a number of problems as challenges to the great mathematician Fibonacci. Three of these problems were solved by Fibonacci and he gives solutions in Flos Ⓣ which he sent to Frederick II. We give some details of one of these problems below.

After 1228 there is only one known document which refers to Fibonacci. This is a decree made by the Republic of Pisa in 1240 in which a salary is awarded to:-

This salary was given to Fibonacci in recognition for the services that he had given to the city, advising on matters of accounting and teaching the citizens.

Liber abaci Ⓣ , published in 1202 after Fibonacci's return to Italy, was dedicated to Scotus. The book was based on the arithmetic and algebra that Fibonacci had accumulated during his travels. The book, which went on to be widely copied and imitated, introduced the Hindu-Arabic place-valued decimal system and the use of Arabic numerals into Europe. Indeed, although mainly a book about the use of Arab numerals, which became known as algorism, simultaneous linear equations are also studied in this work. Certainly many of the problems that Fibonacci considers in Liber abaci Ⓣ were similar to those appearing in Arab sources.

The second section of Liber abaci Ⓣ contains a large collection of problems aimed at merchants. They relate to the price of goods, how to calculate profit on transactions, how to convert between the various currencies in use in Mediterranean countries, and problems which had originated in China.

A problem in the third section of Liber abaci Ⓣ led to the introduction of the Fibonacci numbers and the Fibonacci sequence for which Fibonacci is best remembered today:-

The resulting sequence is 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , . ( Fibonacci omitted the first term in Liber abaci Ⓣ ) . This sequence, in which each number is the sum of the two preceding numbers, has proved extremely fruitful and appears in many different areas of mathematics and science. The Fibonacci Quarterly is a modern journal devoted to studying mathematics related to this sequence.

Many other problems are given in this third section, including these types, and many many more:

There are also problems involving perfect numbers, problems involving the Chinese remainder theorem and problems involving summing arithmetic and geometric series.

Fibonacci treats numbers such as √ 10 in the fourth section, both with rational approximations and with geometric constructions.

A second edition of Liber abaci Ⓣ was produced by Fibonacci in 1228 with a preface, typical of so many second editions of books, stating that:-

Liber quadratorum, written in 1225 , is Fibonacci's most impressive piece of work, although not the work for which he is most famous. The book's name means the book of squares and it is a number theory book which, among other things, examines methods to find Pythogorean triples. Fibonacci first notes that square numbers can be constructed as sums of odd numbers, essentially describing an inductive construction using the formula n 2 + ( 2 n + 1 ) = ( n + 1 ) 2 n^ <2>+ (2n+1) = (n+1)^ <2>n 2 + ( 2 n + 1 ) = ( n + 1 ) 2 . Fibonacci writes:-

Fibonacci's work in number theory was almost wholly ignored and virtually unknown during the Middle ages. Three hundred years later we find the same results appearing in the work of Maurolico.

The portrait above is from a modern engraving and is believed to not be based on authentic sources.


Hebrew Scholasticism in the Fifteenth Century

In their pursuit of a renewal of Jewish philosophy, a number of scholars active in Spain and Italy in the second half of the fifteenth century (Abraham Bibago, Baruch Ibn Ya‘ish, Abraham Shalom, Eli Habillo, Judah Messer Leon) turned to the doctrines and methods of contemporary Latin Scholasticism. These philosophers, who read Latin very well, were impressed by the theories formulated by their Latin colleagues (Albert the Great, Thomas Aquinas, William of Ockham, John Duns Scotus and their followers). They composed original works in Hebrew (mainly commentaries and questions on Aristotle), in which they faithfully reproduced the techniques and terminology of late Scholasticism, and explicitly quoted and discussed Scholastic texts and doctrines about logic, physics, metaphysics and ethics.

Thus, in fifteenth century Italy and Spain there came into being what we may call a "Hebrew Scholasticism": Jewish authors composed philosophical treatises in which they discussed the same questions and used the same methods as contemporary Christian Schoolmen. These thinkers were not simply influenced by Scholasticism: they were real Schoolmen who tried to participate (in a different language) in the philosophical debate of contemporary Europe.

A history of "Hebrew Scholasticism" in the fifteenth century is yet to be written. Most of the sources themselves remain unpublished, and their contents and relationship to Latin sources have not yet been studied in detail. What is needed is to present, edit, translate and comment on some of the most significant texts of "Hebrew Scholasticism", so that scholars can attain a more precise idea of its extent and character.

This book aims to respond to this need. After a historical introduction, where a "state of the art" about research on the relationship between Jewish philosophy and science and Latin Scholasticism in the thirtheenth-fifteenth centuries is given, the book consists of four chapters. Each of them offers a general bio-bibliographical survey of one or two key-authors of fifteenth-century "Hebrew Scholasticism", followed by English translations of some of their most significant "Scholastic" works or of some parts of them: Abraham Bibago’s "Treatise on the Plurality of Forms", Baruch Ibn Ya’ish’s commentaries on Aristotle’s "Nicomachean Ethics" and "De anima", Eli Habillo’s introduction to Antonius Andreas’s commentary on the "Metaphysics", Judah Messer Leon’s commentary on Aristotle’s "Physics" and questions on Porphyry’s "Isagoge". The Hebrew section includes critical editions of some of the translated texts, and a Latin-Hebrew glossary of technical terms of Scholasticism.


The Posttraditional Society

After World War II, the Cold War infiltrated European classrooms. In France and Italy the communists were supported by more than a fifth of the population moreover, regions of Eastern Europe from L󼯬k to Trieste had been transformed into Communist states which promoted a utilitarian, politically dogmatic educational pedagogy. Although the United States wanted to establish comprehensive education in its German occupation zone, West German politicians wanted to return to the pre-Nazi tripartite system. Spain and Portugal, however, remained as they were before the war�scist dictatorships where no reforms were expected.

As industrial production became more technological, demand grew for white-collar workers to supplement the traditional blue-collar labor force. In the 1970s, conventional wisdom referred to the service society in the 1980s, economists described the information society and in the 1990s, experts coined the term the knowledge society. These developments had a great impact on education. Furthermore, new scientific discoveries entered the classrooms, which necessitated new forms of teaching. For example, knowledge of computers and the Internet had to be integrated in all subjects.

In a rapidly changing society, it is not sufficient to maintain one's competence rather, it is necessary to engage in lifelong education. Given the extent of GLOBALIZATION it is not possible for nation-states to maintain their own individual standards. For example, international organizations such as the United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization (UNESCO) have created channels to further global communication in the educational field. British sociologist Anthony Giddens described what he called the post-traditional period. He suggested that tradition should no longer be the guideline for education and for life in the modern world, risks dominate and individuals must continually assess the pros and cons of their decisions. In such a complex world, education must also be more complex, and the solutions to teaching problems could be to create new subjects or to combine existing subjects in new ways. Thus, interdisciplinary work has become common in all types of secondary schools and the universities.

There are at least two paths to choose when planning an educational approach. One is the Anglo-Saxon curriculum, popular in Great Britain and the Scandinavian comprehensive schools. All pupils follow the same core curriculum and progressively they are given more choices in order to follow their individual talents. The comprehensive system responds to the challenge of globalization by teaching a variety of school subjects. Each student's proficiency is tested periodically to ensure that the teaching objectives are being satisfied. Another approach is the German or continental didactical method. Instead of choosing elective courses, students decide to attend one of three types of secondary schools: Hauptschule (26 percent), Realschule (27 percent) or Gymnasium (32 percent). Only a few students choose to go to private schools the remaining 9 percent attend a comprehensive school. The pupils do not have a free choice between different institutions, however their teachers at the lower level decides for them. The pupils in the Hauptschule can continue their studies at the vocational training schools, those who attend the Realschule can go to technical schools, and the pupils in the Gymnasium can go to the sixth form and continue their studies at the university and academy. In fact, although there are relatively few choices between subjects in the German system, it ensures coherence and progression. Moreover, the teachers are free to develop a personal didactic approach to teaching, often with student participation, in order to prepare their pupils for the final state-controlled examinations.

In the 1990s, to prepare their citizens to contribute to the knowledge society, several European countries formulated an education plan. This approach expected 95 percent of young people to graduate from secondary school, with 50 percent of those students going on to university. In order to fulfill this plan, it was appropriate to stress the learning rather than teaching educators discussed terms such as the Process for Enhancing Effective Learning (PEEL, a method developed in Australia) in order to focus on the responsibility of the pupils. Because the individualization of education made it difficult to know whether all students had reached an acceptable proficiency level, it was therefore necessary to evaluate the educational process and its results. Swiss psychologist JEAN LppIAGET's theory of children's maturation influenced these educators. They also incorporated the ideas of German philosopher Wolfgang Klafki, who promoted categorical learning as a synthesis of material and formal education.

The development of globalization presented a challenge to the European nation-state one of the responses has been the development of the European Union (EU), a trading bloc with a common currency. Another was the collaboration between the industrialized countries of the world in the Organisation for Economic Cooperation and Development (OECD). This organization developed a program called PISA (Programme for International Student Assessment) which in 1998 published a review called Knowledge and Skillsfor Life. This comprehensive account showed Ȯvidence on the performance in reading, mathematical and scientific literacy of students, schools and countries, provides insight into the factors that influence the development of these skills at home and at school, and examines how these factors interact and what implications are for the policy development." More than a quarter of a million students, representing almost seventeen million fifteen-year-olds enrolled in the schools of the thirty-two participating countries, were assessed in 2000. The literacy level among students in the European countries differed very much from one nation to the next. Finland was at the top, followed by Ireland, the United Kingdom, Sweden, Belgium, Austria, Iceland, Norway, France, Denmark, Switzerland, Spain, the Czech Republic, Italy, Germany, Poland, Hungary, Greece, Portugal, and Luxembourg. All sorts of explanations for the differences can be brought forward, and there probably is no single underlying factor. Economic variation is likely to be a contributing factor, but it is not sufficient. The report concludes that the socioeconomic background of the students, although important, does not solely determine performance. Religious affiliations are no longer a decisive factor, but combined with the fact that countries like Germany and Luxembourg have a comparatively large number of immigrants with a different cultural background, religion may have had some influence on reading proficiency. Other factors could be the regional differences in teacher training, the structure of the native language, or the reading traditions in the home.


Medieval Traditions

The writings of Boethius (ca. 480-524), Roman philosopher and statesman, constituted the major source from which scholars of the early Middle Ages derived their knowledge of Aristotle. Highly learned and industrious, Boethius hoped to make the works of Plato and Aristotle available to the Latin West and to interpret and reconcile their philosophical views with Christian doctrine. Charged with treason by Theodoric the Ostrogoth, he was executed without trial in 524, never completing his project. In prison he wrote his most popular work, De consolatione philosophiae. Boethius had a profound influence on medieval Scholasticism his Latin translations of Aristotle's Categoriae un De anima provided the Schoolmen with Aristotelian ideas, methods of examining faith, and classification of the divisions of knowledge.

2
Isidore of Seville
Etimoloģija
Venice: Peter Löslein, 1483

Isidore (apm. 562-636), archbishop of Seville, compiled numerous works which were instrumental in the transmission of the learning of classical antiquity to the Middle Ages. Among the most important productions of the "Great Schoolmaster of the Middle Ages" is the Etimoloģija, sauc arī par Origines, assembled by Isidore between 622-633. An encyclopedic work, unsystematic and largely uncritical, it covers a wide range of topics, including geography, law, foodstuffs, grammar, mineralogy, and, as illustrated here, genealogy. The title "Etymologiae" refers to the often fanciful etymological explanations of the terms introducing each article. The work became immensely popular and largely supplanted the study of classical authors themselves.

3
Eusebius Pamphili
Historia ecclesiastica
Italy, fifteenth century

The reputation of Eusebius Pamphili (ca. 260-340), bishop of Caesarea, as the "Father of Church History" rests mainly on his Historia ecclesiastica, issued in its final Greek form in 325. For over a millennium it has served as the major source for the history of the early Church. At the urging of Chromatius (d. 406), bishop of Aquileia, a Latin translation was produced in the late fourth century by Rufinus, presbyter and theologian. Rufinus made numerous changes in Eusebius' account which reflected his own theological stance and historical viewpoint, and introduced additions from original sources which are now lost. The present manuscript dates from the fifteenth century and once belonged to the marquis of Taccone, treasurer to the king of Naples late in the eighteenth century.

4
Baziliks Lielais
De legendis gentilium libris
Bound with
Atanasijs
Vita Sancti Antonii Eremitae
Italy? apm. 1480?

The writings of Basil (329-379) and Athanasius (293-373) exercised great influence upon the development of the ascetic life within the Church. Both men sought to regulate monasticism and to integrate it into the religious life of the cities. De legendis gentilium libris does not deal specifically with monasticism, but is instead a short treatise addressed to the young concerning the place of pagan books in education. The work displays a wealth of literary illustration, citing the virtuous examples of classical figures such as Hercules, Pythagoras, Solon, and others. Moral exhortations are also found in Athanasius' Vita Sancti Antonii Eremitae, a hagiography which awoke in Augustine the resolution to renounce the world and which served to kindle the flame of monastic aspirations in the West. This manuscript edition of the two works, probably originating from fifteenth-century Sicily, was written by Gregorius Florellius, an unidentified monk or friar.

5
Marbode
De lapidibus
pretiosis enchiridion
Freiburg, 1531

Precious stones and minerals have long been prized for their supposedly magical and medicinal properties. During the Middle Ages these popular beliefs were gathered under the form of lapidaries, works which listed numerous gems, stones, and minerals, as well as the many powers attributed to them. Marbode (1035-1123), bishop of Rennes, composed the earliest and most influential of these medieval lapidaries, describing the attributes of sixty precious stones. For his work Marbode drew upon the scientific writings of Theophrastus and Dioscorides and the Alexandrian magical tradition. Christian elements, derived from Jewish apocalyptic sources, were not added to lapidaries until the next century. Marbode's work, which became immensely popular, was translated into French, Provençal, Italian, Irish, Danish, Hebrew, and Spanish. This third printed edition is one of five issued in the sixteenth century.

6
Averroes
Notabilia dicta
Italy, apm. 1430 ­ 1450

Beginning in the twelfth century, much of the Aristotelian corpus became available for the first time to the Latin West through the medium of Arabic translations. Many Schoolmen were introduced to the philosophy of Aristotle through the extensive commentaries of Averroes (1126­ 1198), the renowned Spanish-Arab philosopher and physician who deeply inflluenced later Jewish and Christian thought. Followers saw implicit in his writings a doctrine of "two truths": a philosophical truth which was to be found in Aristotle, and a religious truth which is adapted to the understanding of ordinary men. This denial of the superiority of religious truth led to a major controversy in the thirteenth century and a papal condemnation of Averroism in 1277. Contained in this Latin manuscript are portions of Averroes' commentaries on Aristotle's De anima un Metaphysica, and his medical tract Al-Kulliyyat.

7
Receptarium
de medicinis
Naples, Italy, apm. 1500,
with sixteenth-century additions

Throughout the medieval period, the practice of medicine was more of an art than a science and required the preparation of complex "recipes" containing numerous animal, mineral, and vegetable substances. Materiae medicae, herbals, and antidotaries described innumerable recipes for everyday needs and proposed remedies which were believed to cure a wide range of human ailments. Many of the medieval prescriptions combine more than a hundred ingredients. This fifteenth-century materia medica contains prescriptions attributed to Galen (131 ­ 200), Mesuë (776 ­ 857), Avicenna (980-1037), Averroes (1126-1198), and others. Condiments and spices (pepper, ginger, cardamom, oregano) appear in most of the prescriptions, along with such favorites as camomile, mandrake, honey, camphor, aniseed, and gum arabic. Recipes are given for ink, soap, white sugar, hair-restorers and dyes, cosmetics, and colors ­ to name but a few. Remedies are suggested for such ubiquitous woes as dog-bite, headache, and gout.

8
Blasius of Parma
Questiones super libro methaurorum
Italy, fifteenth century

Blasius of Parma (ca. 1345 ­ 1416), a versatile, eminent, and sometimes controversial scholar, was instrumental in the dissemination and popularization in Italy of the new ideas then being debated by Scholastics at the University of Paris. Best known for his commentaries upon the works of Aristotle and more recent authors, he wrote on mathematics, physics, logic, psychology, theology, astrology, and astronomy. His discussion of Aristotle's Meteorologica found in this manuscript is distinctly anti-Aristotelian in tone and may be traced to the Platonist reaction fostered by the Medici. Blasius, also known as Biagio Pelacani, taught at Pavia, Bologna, and Padua and spent some time at the University of Paris. His wide range of interests anticipates the breed of scholar who would make Italy the center of the early Renaissance.

9
Stundu grāmata
(Use of Chalôns-sur-Marne)
Northeastern France, ca. 1400-1410

This Book of Hours is a noteworthy example of fifteenth-century Horae displaying a mixture of Parisian, Flemish, and provincial styles. The pages, adorned with elaborate borders and illuminations, contain ten miniatures depicting episodes in the life of the Virgin Mary. The elegant and mannered poses, the wave-form robe motifs, and the aerial perspectives based on graded blue skies are characteristic of early fifteenth-century Parisian illuminations. They contrast with the more provincial elements such as short, stocky figures and rustic faces which can be traced to Flemish influence. Prescribing daily worship periods, these texts served as concise breviaries for the laity. Including a liturgical calendar, psalms, hymns, anthems, and prayers, Horae were frequently produced in fifteenth-century France and Flanders.

10
Book of Devotions
Germany, fifteenth century

Books of Devotions, such as the example here, express the growth of a new religious consciousness and independence among the lower clerical orders and laity during the fourteenth and fifteenth centuries. The text, probably gathered and copied in or around Mainz between 1450-1475, is a collection of allegorical and devotional meditations, rules, stories, and exhortations. Of note is an allegory concerning Christ and the loving soul, using the metaphor of the human body as a castle, Christ as the master, and the soul as the mistress. Scattered through-out the final leaves are personal notes made by various lay owners of later periods. These include pious phrases in Latin and German lists of debts and interest paid the memoranda of one Ernst Lorentz Pauly (d. 1718) concerning his marriage, children, several baptisms, and a murder which occurred in 1669.

11
Altvaterbuch
Strassburg: Johann Grüninger, 1507

Lay piety found new forms of expression with the rise of printing in the late fifteenth and early sixteenth centuries. Sources for this Altvaterbuch, a collection of lives of the saints, may be traced to late antique Byzantine hagiographies of the desert Fathers, such as Anthony, Gregory, and Hilary. The exemplary figures described in such traditional works provided personal and immediate sources of inspiration for devoted laity. The Latin Vitae patrum were subsequently translated into vernacular tongues, along with other popular devotional literature. The editions produced by the celebrated printer Johann Grüninger were known for their fine illustrations, usually produced from metal plates instead of the more frequent woodcuts. In order to facilitate the identification of pious readers with the holy figures, the illustrator depicted the Fathers in contemporary garb and placed them at work among the common people.


Skatīties video: Kelionė po Vokietiją, Austriją, Šveicariją, Italiją